Minggu, 18 April 2010

implikasi dan biimplikasi

Implikasi (kondisional)
adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika "jika … , maka … " yang lambangnya " ". atau " ".

Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis "p q" atau "p q" dan dibaca "jika p, maka q".

Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca " p hanya jika q " atau " p adalah syarat cukup bagi q " atau " q adalah syarat perlu bagi p ".

Pada pernyataan p q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

atau

P

q

pq

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1


Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

  1. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang.
  2. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang
  3. Jika hari ini mata hari tidak bersinar terang maka angin bertiup kencang
  4. Jika hari ini matahari tidak bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang.

Jawab:

  1. Pernyataan bernilai salah (S).
  2. Pernyataan bernilai benar (B) .
  3. Pernyataan bernilai benar (B)
  4. Pernyataan bernilai benar (B).



Biimplikasi (bikondisional)
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " " atau " ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p q " atau
"p q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku


p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

2. atau

p

q

pq

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1



  1. Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).
    Contoh:

    Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
    p: 2 bilangan prima
    q: 2 + 6 = 12
    1. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
    2. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12
    3. 2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
    4. 2 bukan bilangan prime jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12


Penyelesaian:

    1. Tulis p: 2 bilangan prima
      q: 2 + 6 = 12.
      Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
      Jadi
      nilai kebenaran p q adalah salah (S).
    2. Kalimat bernilai benar (B)
    3. Kalimat bernilai salah (S)
    4. Kalimat bernilai benar (B)

Manfaatnya

MANFAAT SIMBOL IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI

Filed under: 1). Materi Penting, 2. MATEMATIKA — matematikadasar @ 12:17
Tags: biimplikasi, implikasi, logika

Setelah kita berlama-lama dalam bahasan logika matematika, akhirnya sampai juga pada penerapan paling utamanya. Yaitu dalam mengerjakan soal atau dalam proses pembuktian.

Penggunaan simbol yang tepat bisa lebih melancarkan komunikasi dalam matematika.

Dan juga, penggunaan simbol ini bisa digunakan untuk membongkar soal-soal paradoks, yang banyak ditulis sebagai hiburan iseng orang matematika (termasuk dalam blog saya ini :))

Kita simak dulu beberapa contoh pendahuluan berikut:

Dalam aljabar, menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan sesuatu yang sama, adalah benar. Sehingga kita bisa mendapatkan :

x = y => x + z = y + z…..(menambah kedua ruas)

dan

x + z = y + z => x = y (mengurangi kedua ruas)

Sehingga kita bisa menuliskannya dalam bentuk yang lebih singkat sebagai :

x = y <=> x + z = y + z.

Akan tetapi, tidak semua langkah aljabar bisa di tulis bolak-balik seperti contoh di atas.

Contoh 2:

x = y => x2 = y2 adalah benar

sedangkan kalo dibalik arahnya.

x2 = y2 , maka belum tentu menyebabkan x = y, ada kemungkinan lain yaitu x= -y .

Sehingga tidak bisa kita tulis dalam biimplikasi.

Kesimpulan 1:

Implikasi menunjukan kebenaran logis satu arah, sedangkan biimplikasi dua arah.

****

Oke, itu dasarnya, mengenai kapan kita harus menggunakan notasi => dan <=>

Contoh 3:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan :

\sqrt{2x + 1}= \,\sqrt{x}-5

Jawab :

\sqrt{2x + 1}= \sqrt {x}-5

\Rightarrow \,\,2x\, + \,1\, = (\sqrt{ x}  - 5)^2

\Leftrightarrow \,2x\, + \,1\, = \,x\, - 10\sqrt {x}  + 25

\Leftrightarrow \,\,10\sqrt {x} \, = 24 - \,x

\Rightarrow 100\,x\, = \,(24 - x)^2

\Leftrightarrow ,100,x, = ,,576, - ,48x + x^2

\Leftrightarrow \,x^2  - 148x + 576 = 0

\Leftrightarrow (x - 4)\,(x - 144) = 0

\Leftrightarrow x\, =\,4\,\,\,atau\,\,\,x = 144

(Perhatikan langkah-langkah ketika simbol implikasi dan biimplikasi muncul.)

Semua langkah di atas lengkap dan logis, yang pada akhirnya didapat jawaban : {4, 144}. Namun coba anda masukan ke dalam soal (persamaan awal). Maka hasilnya akan salah.

Kenapa terjadi demikian ?, apa yang salah ?

Nah ternyata, kuncinya terletak pada penggunaan simbol yang sedang kita bahas: => dan <=>.

Gimana, sudah mulai tertarik ?, jika ya, kita bahas. Let’s Go !!!!!!!!

Pada contoh 3 kita di atas. Tidak semua langkah terhubung dengan simbol biimplikasi (di sela-sela proses muncul simbol implikasi). Artinya, kebenaran logis tidak berlaku dua arah. Sehingga memang tidak ada yang menjamin benar jika kita membalikan proses (memasukan nilai akhir ke dalam persamaan awal).

Lalu apa yang terjadi sebenarnya ?

Jika, setelah semua langkah kita logis, namun ketika dimasukan ke persamaan awal ternyata tidak memenuhi. Artinya kita bisa mengatakan ”soal contoh 3 tidak memiliki penyelesaian”.

Kesimpulan 2:

Jika muncul tanda implikasi, kita harus cross check setiap jawaban akhir. Karena tidak ada yang menjamin, artinya ada dua kemungkinan : memenuhi atau tidak . Dalam bahasa umum : soal punya penyelesaian atau tidak.

NB: saya sarankan juga, langkah cross check ini menjadi kebiasaan, meskipun semua tanda yang muncul adalah biimplikasi, dengan tujuan kalo’-kalo’ ada langkah kita yang keliru, bisa langsung terlihat dan ditelusuri lagi keabsahannya perlangkah.

Masih pengen contoh lagi ?

Contoh 4:

Selesaikan sistem persamaan berikut :

2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = -5

Jawab :

2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = – 5

=> 2(2a – 5b) + (10b -4a) = 2 x 3 + (-5)

<=> 4a – 10b + 10b- 4a = 1

<=> 0 = 1

Ini bukan pembuktian bahwa 0 = 1. (trik gini dah basi)

Ini hanya menunjukan bahwa symbol => yang tersisip dalam langkah-langkah, memutus mata rantai bolak-balik. Artinya tidak ada jaminan bahwa hasil akhirnya adalah sebagai solusi (lihat kesimpulan 1).

Lalu artinya apa ?

Karena kita tahu bahwa 0 = 1 adalah salah. Maka pasti soal juga salah, dengan kata lain : sistem persamaan di atas tidak punya penyelesaian. Atau dengan kata lain lagi: ” tidak ada nilai a dan b yang memenuhi sistem persamaan di atas ”.

NB: pemahaman dasar ini sebagai fundamen bagi anda dalam memahami teknik pembuktian dengan cara ”kontradiksi”.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar